Qual è la derivata di sqrt(x)

Formula

La derivata della radice quadrata di x $$ f(x)=\sqrt{x} $$ è $$ f'(x) =\frac{x'}{\sqrt{x}} =\frac{1}{\sqrt{x}} $$

Esempio

$$ f(x) = \sqrt{x} $$

$$ f'(x)=\frac{x'}{2 \sqrt{x}} $$

$$ f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$

Dimostrazione

Scrivere il rapporto incrementale

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{h}}{h} $$

Moltiplicare numeratore e denominatore per la stessa espressione

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{h}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} $$

Svolgere i calcoli algebrici e semplificare

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} $$

Il limite per h tendente a zero è

$$ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} $$

Quindi la derivata della radice quadrata di x è

$$ \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$