Comment calculer le polynóme caractéristique d'une matrice sur Matlab et Octave

Pour trouver le polynôme caractéristique d'une matrice dans Matlab et Octave, utilisez la fonction poly()

poly(x)

Le paramètre x de la fonction est une matrice carrée.

La fonction calcule le polynôme caractéristique de la matrice carrée.

Qu'est-ce que le polynôme caractéristique? Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée est calculé en utilisant la formule suivante $$ p( \lambda ) = \det(M- \lambda \cdot Id_n) $$ M est la matrice carrée, Id est une matrice identité du même ordre et lambda est une variable.

Exemple

Définir une matrice carrée M

>> M = [1 2 ; 0 3]
M =
1 2
0 3

C'est une matrice 2x2 avec deux lignes et deux colonnes

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Calculer le polynôme caractéristique de la matrice M à l'aide de la fonction poly(M)

>> poly(M)
ans =
1 -4 3

Le résultat est un array avec les coefficients du polynôme caractéristique de la matrice

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 4 \cdot \lambda^1 + 3 \cdot \lambda^0 $$

$$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$

Ce sont aussi les mêmes coefficients de l'équation caractéristique de la matrice

$$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$

Vérifier. $$ p( \lambda ) = \det(M- \lambda \cdot Id_n) $$ $$ p( \lambda ) = \det ( M- \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p( \lambda ) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 0 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$ $$ p( \lambda ) = ( 1 - \lambda ) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 0 $$ $$ p( \lambda ) = 3 - \lambda -3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ p( \lambda ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$