Sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale W è un sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale V, chiuso alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare. $$ u+v \in W \:\: \forall u,v \in W $$ $$ ku \in W \:\: \forall k \in R, u \in W $$

Un sottoinsieme è detto chiuso a un'operazione, se dati due elementi del sottoinsieme anche il risultato dell'operazione appartiene al sottoinsieme stesso.

Un sottoinsieme vettoriale conserva tutte le proprietà di uno spazio vettoriale.

Nota. Non tutti i sottoinsiemi di uno spazio vettoriale sono sottospazi vettoriali.

Esempio

Dato uno spazio vettoriale M(2,2,R) contenente tutte le matrici 2x2 che hanno almeno un elemento nullo.

$$ M(2,2,R) $$

Prese due matrici A,B appartenenti allo spazio vettoriale M

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \in M $$

$$ B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \in M $$

Il sottoinsieme W di V contenente le matrici A e B

$$ W = \{ A,B \} $$

è un sottospazio vettoriale di V perché anche la somma delle matrici appartiene a W

$$ A+B \in W $$

Esempio $$ A + B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \in W $$ Anche la matrice somma ha almeno un elemento nullo, quindi appartiene al sottoinsieme W.

e il prodotto per uno scalare k appartiene a W

$$ k \cdot A \in W $$

$$ k \cdot B \in W $$

Esempio. $$ k \cdot A = k \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & -2k \\ 0 & 2k \end{pmatrix} \in W $$ $$ k \cdot B = k \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k \\ 3k & 2k \end{pmatrix} \in W $$ Anche le matrici prodotto hanno almeno un elemento nullo, quindi appartengono al sottoinsieme W.