Cos'è uno spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale (K,+,·) è una struttura algebrica composta da


• Un campo K i cui elementi sono numeri detti scalari ( reali o complessi )
• Un insieme V di vettori.
• Due operazioni binarie (somma, prodotto per uno scalare) che rispettano determinate proprietà.

Le proprietà delle operazioni binarie

Considerando dei vettori (v,w,z) e degli scalari k, le operazioni binarie di uno spazio vettoriale devono rispettare le seguenti proprietà:

1. commutativa $$ v+w=w+v $$
2. associativa $$ v+(w+z)=(v+w)+z $$
3. distributiva del prodotto per uno scalare $$ k(v+w)=kv+kw $$
4. pseudo distributiva $$ v(k_1+k_2) = vk_1+vk_2 $$
5. pseudo associativa $$ v(k_1 \cdot k_2)=k_1(v \cdot k_2)=k_2(v \cdot k_1) $$
6. elemento neutro $$ v+0=v $$
7. elemento opposto $$ v+w=0 $$
8. elemento neutro del prodotto $$ v \cdot 1 = v $$

Nota. Se il campo K è l'insieme dei numeri reali R si dice spazio vettoriale reale. Se il campo è l'insieme dei numeri complessi C, si dice spazio vettoriale complesso.

Esempi

Esempio 1

Lo spazio vettoriale S (R,+,·) è l'insieme composto da tutti i vettori con un componente reale.

Esempio 2

Lo spazio vettoriale S² (R,+,·) è l'insieme composto da tutti i vettori con due componenti reali. È uguale al piano cartesiano a due dimensioni (x,y)

Esempio 3

Lo spazio vettoriale S³ (R,+,·) è l'insieme composto da tutti i vettori con tre componenti reali. È uguale allo spazio cartesiano a tre dimensioni (x,y,z)

Esempio 4

Le matrici M con p righe q colonne formano uno spazio vettoriale con le operazioni somma tra matrici e prodotto di una matrice per uno scalare.