Limite della successione n/(2n+5)

In questo esercizio verificare se il seguente limite della successione 2/(2n+5) converge a 1/2 $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2n+5} = \frac{1}{2} $$

La soluzione

Secondo il teorema della convergenza delle successioni.

$$ | a_n - l | < ε $$

$$ | \frac{n}{2n+5} - \frac{1}{2} | < ε $$

$$ | \frac{2n-(2n+5)}{2(2n+5)} | < ε $$

$$ | \frac{5}{2(2n+5)} | < ε $$

Poiché n>0 si elimina il modulo

$$ \frac{5}{2(2n+5)} < ε $$

$$ \frac{5}{2} < ε(2n+5) $$

$$ \frac{5}{2ε} < 2n+5 $$

$$ \frac{5}{2ε} - 5 < 2n $$

$$ \frac{5}{2(2ε)} - \frac{5}{2} < n $$

$$ \frac{5}{4ε} - \frac{5}{2} < n $$

La disequazione è soddisfatta per qualsiasi valore di ε>0

• Per ε>1 è soddisfatta
• Per 0<ε<1 è soddisfatta

In conclusione, il limite della successione converge a 1/2.