Cómo calcular el polinomio característico de una matriz en Matlab y Octave

Para calcular el polinomio característico de una matriz en Matlab y Octave, utilice la función poly()

poly(x)

El parámetro x de la función es una matriz cuadrada.

La función calcula el polinomio característico de la matriz cuadrada.

¿Qué es el polinomio característico? El polinomio característico de una matriz cuadrada se calcula mediante la siguiente fórmula $$ p( \lambda ) = \det(M- \lambda \cdot Id_n) $$ Donde M es la matriz cuadrada, Id es una matriz identidad del mismo orden y lambda es una variable.

Ejemplo

Definir una matriz cuadrada M

>> M = [1 2 ; 0 3]
M =
1 2
0 3

Es una matriz cuadrada de 2x2 con dos filas y dos columnas.

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Calcular el polinomio característico de la matriz M utilizando la función poly(M)

>> poly(M)
ans =
1 -4 3

El resultado es un array con los coeficientes del polinomio característico de la matriz

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 4 \cdot \lambda^1 + 3 \cdot \lambda^0 $$

$$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$

Son los mismos coeficientes también de la ecuación característica de la matriz

$$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$

Verificar. $$ p( \lambda ) = \det(M- \lambda \cdot Id_n) $$ $$ p( \lambda ) = \det ( M- \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p( \lambda ) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 0 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$ $$ p( \lambda ) = ( 1 - \lambda ) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 0 $$ $$ p( \lambda ) = 3 - \lambda -3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ p( \lambda ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$