Come calcolare il polinomio caratteristico di una matrice su Matlab e Octave

Per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice in Matlab e Octave, usare la funzione poly()

poly(x)

Il parametro della funzione è una matrice quadrata.

La funzione calcola il polinomio caratteristico della matrice quadrata.

Cos'è il polinomio caratteristico? Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata si calcola tramite la seguente formula $$ p( \lambda ) = \det(M- \lambda \cdot Id_n) $$ Dove M è la matrice quadrata, Id è una matrice identità dello stesso ordine e lambda è una variabile.

Esempio

Definire una matrice quadrata M

>> M = [1 2 ; 0 3]
M =
1 2
0 3

E' una matrice quadrata 2x2 con due righe e due colonne

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Calcolare il polinomio caratteristico della matrice M tramite la funzione poly(M)

>> poly(M)
ans =
1 -4 3

Il risultato è un array con i coefficienti del polinomio caratteristico della matrice

$$ 1 \cdot \lambda^2 - 4 \cdot \lambda^1 + 3 \cdot \lambda^0 $$

$$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$

Sono gli stessi coefficienti anche dell'equazione caratteristica della matrice

$$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$

Verifica. $$ p( \lambda ) = \det(M- \lambda \cdot Id_n) $$ $$ p( \lambda ) = \det ( M- \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p( \lambda ) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 0 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$ $$ p( \lambda ) = ( 1 - \lambda ) \cdot (3 - \lambda) - 2 \cdot 0 $$ $$ p( \lambda ) = 3 - \lambda -3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ p( \lambda ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$