Come risolvere integrale 1 su radice x per radice 1-x

Come risolvere l'integrale 1 su radice quadrata di x per radice di uno meno x Per risolvere l'integrale indefinito di $$ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}} dx $$ si usa il metodo per sostituzione.

Soluzione e spiegazione

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}} dx $$

Assegnare √x alla variabile t

$$ t = \sqrt{x} $$

Determinare la variabile x da t

$$ x = t^2 $$

Calcolare il differenziale dx dalla derivata x' dx

$$ dx = 2t \: dt $$

Sostituire dx con 2t dt

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}} \cdot 2t \: dt $$

Sostituire √x con t e x con t²

$$ \int \frac{1}{t \sqrt{1-t^2}} \cdot 2t \: dt $$

Semplificare l'espressione algebrica eliminando t

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \cdot 2 \: dt $$

Spostare la costante numerica fuori dall'integrale

$$ 2 \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \: dt $$

Calcolare la primitiva dell'integrale elementare

$$ 2 \cdot \: arcsin \: t + c $$

Sostituire la variabile t con √x

$$ 2 \cdot \: arcsin \: \sqrt{x} + c $$

L'integrale è stato risolto.

Metodo alternativo

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}} dx $$

Assegnare √x alla variabile t

$$ t = \sqrt{x} $$

Calcolare il differenziale dt dalla derivata t' dx

$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx $$

Mettere in evidenza una parte dell'integrale nel membro di destra dell'equazione

$$ 2 \: dt = \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$

Sostituire 2 dt con la parte equivalente dell'integrale

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot 2 \: dt $$

Sostituire x con t²