Come risolvere l'integrale 1 su radice 4-x alla seconda
Per risolvere l'integrale indefinito di uno su radice quadrata di 4-x2 $$ \int \frac{1}{ \sqrt(4-x^2) } dx $$ si usa il metodo della sostituzione.
La soluzione
$$ \int \frac{1}{ \sqrt{4-x^2} } dx $$
Per risolvere questo integrale non è possibile assegnare semplicemente t=√4-x2 perché la variabile t si annulla del tutto.
Esempio. $$ \int \frac{1}{ \sqrt{4-x^2} } dx $$ $$ t = \sqrt{4-x^2} \\ x = 4 - t^2 \\ dx = -2t $$ $$ \int \frac{1}{ t } \cdot (-2t) \: dt $$ $$ \int -2 \: dt $$
Occorre trasformare l'integrale nella forma dell'integrale elementare dell'arcoseno sostituendo x2 con 4t2
$$ x^2 = 4t^2 $$
$$ x = 2t $$
Pertanto la variabile t diventa
$$ t=\frac{1}{2}x $$
Calcolare la variabile x a partire dalla variabile t
$$ x=2t $$
Calcolare il differenziale dx dalla derivata x' dt
$$ dx=2 \: dt $$
Sostituire dx con 2 dt
$$ \int \frac{1}{ \sqrt{4-x^2} } \cdot 2 \: dt $$
Sostituire x con 2t
$$ \int \frac{1}{ \sqrt{4-(2t)^2} } \cdot 2 \: dt $$
$$ \int \frac{1}{ \sqrt{4-4t^2} } \cdot 2 \: dt $$
Mettere in evidenza il 4 al denominatore
$$ \int \frac{1}{ \sqrt{4(1-t^2)} } \cdot 2 \: dt $$
Spostare il 4 al di fuori della radice quadrata
$$ \int \frac{1}{ \sqrt{2^2 \cdot (1-t^2)} } \cdot 2 \: dt $$
$$ \int \frac{1}{ 2 \cdot \sqrt{1-t^2} } \cdot 2 \: dt $$
Semplificare togliendo il 2 al numeratore e al denominatore
$$ \int \frac{1}{ \sqrt{1-t^2} } \: dt $$
Calcolare la primitiva dell'integrale elementare
$$ arcsin \: t \: +c $$
Sostituire la variabile t con x.
La soluzione dell'integrale è la seguente:
$$ arcsin \: \frac{1}{2}x \: +c $$
L'integrale è stato risolto
