Come risolvere l'integrale 4 radice di x fratto 1 più x
Per risolvere l'integrale del rapporto tra 4 per radice quadrata di x fratto 1+x $$ \int \frac{4 \sqrt{x}}{1+x} $$ si usa l'integrazione per sostituzione
Primo metodo (migliore)
$$ \int \frac{4 \sqrt{x}}{1+x} \: dx$$
Assegnare la variabile t alla radice quadrata di x.
$$ t = \sqrt{x} $$
Calcolare la variabile x a partire da t.
$$ x = t^2 $$
Calcolare il differenziale dx = x' dt tramite la derivata della variabile x.
$$ dx = 2t \: dt $$
Sostituire dx con 2t dt, x con t2 e √x con t
$$ \int \frac{4 t}{1+t^2} 2t \: dt $$
Moltiplicare 4t e 2t
$$ \int \frac{8 t^2}{1+t^2} \: dt $$
Spostare la costante 8 fuori dall'integrale
$$ 8 \cdot \int \frac{t^2}{1+t^2} \: dt $$
Semplificare con la decomposizione in somma
$$ 8 \cdot \int \frac{t^2 + 1 - 1 }{1+t^2} \: dt $$
$$ 8 \cdot \int \frac{1+t^2}{1+t^2} - \frac{1}{1+t^2} \: dt $$
$$ 8 \cdot \int 1 - \frac{1}{1+t^2} \: dt $$
Applicare la proprietà lineare degli integrali
$$ 8 \cdot ( \int 1 \: dt - \int \frac{1}{1+t^2} \: dt ) $$
Calcolare le primitive degli integrali
$$ 8 \cdot ( t - arctg \: t ) +c $$
$$ 8 t - 8 \: arctg \: t +c $$
Sostituire la variabile t con x.
La soluzione dell'integrale è
$$ 8 \sqrt{x} - 8 \: arctg \: \sqrt{x} +c $$
L'integrale è stato risolto.
Secondo metodo
$$ \int \frac{4 \sqrt{x}}{1+x} \: dx$$
Assegnare la variabile t alla radice quadrata di x
$$ t = \sqrt{x} $$
Calcolare il determinante dt tramite la derivata di t' dx
$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x} } \: dx $$
Mettere in evidenza una parte dell'integrale nel membro di destra
$$ 2 \sqrt{x} \: dt = dx $$
Sostituire dx con 2√x dt nell'integrale
$$ \int \frac{4 \sqrt{x}}{1+x} \cdot 2 \sqrt{x} \: dt $$
Sostituire x con t2 e √x con t nell'integrale
$$ \int \frac{4 t}{1+t^2} \cdot 2 t \: dt $$
Moltiplicare 4t e 2t
$$ \int \frac{8 t^2}{1+t^2} \: dt $$
Spostare la costante 8 fuori dall'integrale
$$ 8 \cdot \int \frac{t^2}{1+t^2} \: dt $$
Usare il metodo della decomposizione in somma per semplificare l'integrale
$$ 8 \cdot \int \frac{t^2 + 1 - 1 }{1+t^2} \: dt $$
$$ 8 \cdot \int \frac{1+t^2}{1+t^2} - \frac{1}{1+t^2} \: dt $$
$$ 8 \cdot \int 1 - \frac{1}{1+t^2} \: dt $$
Dividere l'integrale in due integrali elementari
$$ 8 \cdot ( \int 1 \: dt - \int \frac{1}{1+t^2} \: dt ) $$
Calcolare le primitive degli integrali elementari
$$ 8 \cdot ( t - arctg \: t ) +c $$
$$ 8 t - 8 \: arctg \: t +c $$
Sostituire la variabile t con √x
La soluzione dell'integrale è
$$ 8 \sqrt{x} - 8 \: arctg \: \sqrt{x} +c $$
L'integrale è stato risolto.
