Come risolvere l'integrale 3x diviso radice quadrata 8-x
Per risolvere l'integrale indefinito di 3x fratto radice quadrata di 8-x $$ \int \frac{3x}{ \sqrt{8-x} } dx $$ si usa l'integrazione per sostituzione.
Metodo della sostituzione
Primo metodo (migliore)
$$ \int \frac{3x}{ \sqrt{8-x} } dx $$
Sostituire una parte dell'integrale con la variabile t.
$$ t= \sqrt{8-x} $$
Calcolare la variabile x tramite la variabile t
$$ x= 8-t^2 $$
Calcolare il determinante dx tramite la derivata t' dt
$$ dx= -2t \: dt $$
Sostituire dx nell'integrale
$$ \int \frac{3x}{ t } (-2t \: dt) $$
Sostituire x con t nell'integrale
$$ \int \frac{3(8-t^2)}{ t } (-2t \: dt) $$
Semplificare t e -2t
$$ \int 3(8-t^2) -2 \: dt $$
Moltiplicare 3 e -2
$$ \int -6(8-t^2) \: dt $$
Spostare la costante -6 fuori dall'integrale
$$ -6 \cdot \int 8-t^2 \: dt $$
Applicare la proprietà lineare degli integrali
$$ -6 \cdot ( \int 8 \: dt - \int t^2 \: dt ) $$
Sostituire le primitive degli integrali elementari
$$ -6 \cdot ( 8t - \frac{1}{3} \cdot t^3 ) +c $$
Semplificare l'espressione
$$ -6 \cdot \frac{24t-t^3}{3} +c $$
$$ -2 \cdot 24t-t^3 +c $$
$$ -2 \cdot t ( 24-t^2) +c $$
Sostituire t con la variabile x
$$ -2 \cdot (\sqrt{8-x}) \cdot ( 24-(\sqrt{8-x})^2) +c $$
$$ -2 \cdot (\sqrt{8-x}) \cdot ( 24-(8-x)) +c $$
La soluzione dell'integrale è la seguente
$$ -2 \cdot (\sqrt{8-x}) \cdot ( 16+x)) +c $$
L'integrale è stato risolto.
Secondo metodo
$$ \int \frac{3x}{ \sqrt{8-x} } dx $$
Assegnare una parte dell'integrale alla variabile di comodo t.
$$ t= \sqrt{8-x} $$
Calcolare il differenziale dt tramite la derivata t' dx
$$ dt= \frac{-1}{2 \sqrt{8-x} } \: dx $$
Mettere in evidenza una parte dell'integrale rispetto a dt
$$ -2 \: dt= \sqrt{8-x} \: dx $$
Sostituire la parte dell'integrale con -2 dt
$$ \int 3x \cdot ( -2 \: dt ) $$
Sostituire la variabile x con l'espressione 8-t2
$$ \int 3(8-t^2) \cdot ( -2) \: dt $$
Spiegazione. Sapendo che $$ t= \sqrt{8-x} \\ t^2= ( \sqrt{8-x} )^2 \\ t^2 = 8 - x \\ x=8-t^2 $$
Moltiplicare 3 e -2
$$ \int -6(8-t^2) \: dt ) $$
Spostare la costante -6 fuori dall'integrale
$$ -6 \cdot \int 8-t^2 \: dt ) $$
Applicare la proprietà lineare degli integrali
$$ -6 \cdot ( \int 8 \: dt - \int t^2 \: dt ) $$
Sostituire le primitive degli integrali elementari
$$ -6 \cdot ( 8t - \frac{1}{3} t^3) +c $$
Svolgere i passaggi algebrici per semplificare l'espressione
$$ -6 \cdot \frac{24t-t^3}{3} +c $$
$$ -2 \cdot 24t-t^3 +c $$
$$ -2 \cdot t ( 24-t^2) +c $$
Sostituire t con √8-x
$$ -2 \cdot (\sqrt{8-x}) \cdot ( 24-(\sqrt{8-x})^2) +c $$
$$ -2 \cdot (\sqrt{8-x}) \cdot ( 24-(8-x)) +c $$
La soluzione dell'integrale è la seguente
$$ -2 \cdot (\sqrt{8-x}) \cdot ( 16+x)) +c $$
L'integrale è stato risolto.
