Come si risolve l'integrale 1 su x meno radice x
Per risolvere l'integrale indefinito di uno fratto x meno radice di x $$ \int \frac{1}{x-\sqrt{x}} \: dx $$ si usa il metodo della sostituzione.
La soluzione
$$ \int \frac{1}{x-\sqrt{x}} \: dx $$
Assegnare √x alla variabile t.
$$ t= \sqrt{x} $$
Determinare la variabile x
$$ x = t^2 $$
Calcolare il differenziale dx = x' dt
$$ dx = 2t \: dt $$
Sostituire dx con 2t dt
$$ \int \frac{1}{x-\sqrt{x}} \cdot 2t \: dt $$
Sostituire x con t2 e √x con t
$$ \int \frac{1}{t^2-t} \cdot 2t \: dt $$
Mettere in evidenza t al denominatore per semplificare la funzione integranda
$$ \int \frac{1}{t(t-1)} \cdot 2t \: dt $$
$$ \int \frac{1}{t-1} \cdot 2 \: dt $$
Spostare la costante 2 al di fuori dell'integrale
$$ 2 \cdot \int \frac{1}{t-1} \: dt $$
Determinare la funzione primitiva dell'integrale elementare
$$ 2 \cdot \log (t-1) +c $$
Sostituire la variabile t con √x
$$ 2 \cdot \log (\sqrt{x}-1) +c $$
L'integrale è stato risolto.
Metodo alternativo
$$ \int \frac{1}{x-\sqrt{x}} \: dx $$
Assegnare √x alla variabile t.
$$ t= \sqrt{x} $$
Calcolare il differenziale dt = t' dx
$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \: dx $$
$$ 2 \:dt = \frac{1}{ \sqrt{x}} \: dx $$
Modificare la funzione integranda per rendere possibile la sostituzione
$$ \int \frac{1}{x-\sqrt{x}} \: dx $$
$$ \int \frac{1}{\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x}-1)} \: dx $$
Sostituire 1/√x con 2dt
$$ \int \frac{1}{(\sqrt{x}-1)} \cdot 2 \: dt $$
Sostituire √x con t
$$ \int \frac{1}{(t-1)} \cdot 2 \: dt $$
Spostare la costante 2 fuori dall'integrale
$$ 2 \cdot \int \frac{1}{(t-1)} \: dt $$
Calcolare la funzione primitiva dell'integrale elementare
$$ 2 \cdot \log (t-1) +c $$
Sostituire t con √x
$$ 2 \cdot \log (\sqrt{x} -1) +c $$
L'integrale è stato risolto.
