Come risolvere l'integrale x+3 fratto radice x+2

Per calcolare l'integrale indefinito di x+3 diviso per la radice di x+2 $$ \int \frac{x+3}{ \sqrt{x+2} } dx$$ si usa il metodo dell'integrazione per sostituzione.

Primo metodo (migliore)

$$ \int \frac{x+3}{ \sqrt{x+2} } dx $$

Assegnare alla variabile t la componente √x+2

$$ t = \sqrt{x+2} $$

Calcolare la variabile x a partire da t

$$ x = t^2-2 $$

Calcolare il differenziale dx come derivata di t' dt

$$ dx = 2t \: dt $$

Sostituire dx con 2t dt, √x+2 con t e la variabile x con t²

$$ \int \frac{(t^2-2)+3}{ t } 2t \: dt $$

$$ \int (t^2+1) \cdot 2 \: dt $$

Spostare la costante 2 fuori dall'integrale

$$ 2 \cdot \int t^2+1 \: dt $$

Applicare la proprietà lineare degli integrali

$$ 2 \cdot \int t^2 \: dt + \int 1 \: dt $$

Calcolare le primitive degli integrali elementari

$$ 2 \cdot ( \frac{t^3}{3} + t ) + c $$

$$ 2 \cdot ( \frac{t^3+3t}{3} ) + c $$

Semplificare mettendo in evidenza la variabile t

$$ 2 \cdot ( \frac{t \cdot (t^2+3)}{3} ) + c $$

Sostituire la variabile t con √x+2

$$ 2 \cdot ( \frac{\sqrt{x+2} \cdot ((\sqrt{x+2})^2+3)}{3} ) + c $$

$$ 2 \cdot ( \frac{\sqrt{x+2} \cdot (x+2+3)}{3} ) + c $$

$$ 2 \cdot ( \frac{\sqrt{x+2} \cdot (x+5)}{3} ) + c $$

La soluzione dell'integrale è la seguente:

$$ \frac{ 2 \cdot \sqrt{x+2} \cdot (x+5)}{3} + c $$

L'integrale è stato risolto

Secondo metodo

$$ \int \frac{x+3}{ \sqrt{x+2} } dx $$

Calcolare la variabile t.

$$ t = \sqrt{x+2} $$

Calcolare il determinante dt come derivata t' dx

$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x+2} } dx $$

$$ 2 \: dt = \frac{1}{\sqrt{x+2} } dx $$

Sostituire 2 dt nell'integrale.

$$ \int (x+3) \cdot 2 \: dt $$

Sostituire la variabile x con t

$$ \int ((t^2-2)+3) \cdot 2 \: dt $$

Spostare la costante 2 al di fuori dell'integrale