Come si risolve l'integrale di x fratto radice cubica di x piu 1
Per risolvere l'integrale indefinito di $$ \int \frac{x}{ \sqrt[3]{x+1} } \: dx $$ si usa il metodo della sostituzione
La soluzione
$$ \int \frac{x}{ \sqrt[3]{x+1} } \: dx $$
Un modo per eliminare la radice cubica è assegnare t3 a x+1
$$ t^3=x+1 $$
Ottenere la variabile t dalla precedente
$$ t= \sqrt[3]{x+1} $$
Determinare la variabile x
$$ x = t^3 - 1 $$
Calcolare il differenziale dx dalla derivata di t
$$ dx = 3t^2 \: dt $$
Sostituire dx con 3t2
$$ \int \frac{x}{ \sqrt[3]{x+1} } \cdot 3t^2 \: dt $$
Sostituire x con t3-1 e semplificare
$$ \int \frac{t^3-1}{ \sqrt[3]{(t^3-1)+1} } \cdot 3t^2 \: dt $$
$$ \int \frac{t^3-1}{ \sqrt[3]{t^3} } \cdot 3t^2 \: dt $$
$$ \int \frac{t^3-1}{ t } \cdot 3t^2 \: dt $$
$$ \int (t^3-1) \cdot 3t \: dt $$
Spostare la costante 3 al di fuori dell'integrale
$$ 3 \cdot \int (t^3-1) \cdot t \: dt $$
Procedere con i calcoli algebrici
$$ 3 \cdot \int t^4-t \: dt $$
Calcolare le primitive dell'integrale
$$ 3 \cdot ( \frac{t^5}{5} - \frac{t^2}{2} )+ c $$
Procedere con i calcoli algebrici
$$ 3 \cdot ( \frac{2t^5-5t^2}{10} )+ c $$
$$ \frac{6t^5-15t^2}{10} + c $$
$$ \frac{t^2(6t^3-15)}{10} + c $$
Sostituire t con la radice cubica di x+1
$$ \frac{(\sqrt[3]{x+1})^2(6(\sqrt[3]{x+1})^3-15)}{10} + c $$
$$ \frac{\sqrt[3]{(x+1)^2} \cdot (6 \cdot (x+1)-15)}{10} + c $$
$$ \frac{\sqrt[3]{(x+1)^2} \cdot (6x+6-15)}{10} + c $$
$$ \frac{\sqrt[3]{(x+1)^2} \cdot (6x-9)}{10} + c $$
L'integrale è stato risolto
