Come si risolve l'integrale di uno fratto radice cubica di 1-x
Per risolvere l'integrale indefinito di uno fratto radice cubica di 1-x $$ \int \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } \: dx $$ si può usare l'integrazione per sostituzione.
Metodo della sostituzione
Primo metodo (migliore)
$$ \int \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } \: dx $$
Sostituire una parte dell'integrale con la variabile t.
$$ t = \sqrt[3]{1-x} $$
Elevare alla terza entrambi i membri dell'equazione per mettere in evidenza la variabile x.
$$ x = 1-t^3 $$
Calcolare il differenziale dx tramite la derivata di x' dt.
$$ dx = x' \: dt $$
$$ dx = D[1-t^3] \: dt $$
$$ dx = -3t^2 \: dt $$
Sostituire x e dx nell'integrale.
$$ \int \frac{1}{ t } (-3t^2) \: dt $$
Semplificare t e t2
$$ \int -3t \: dt $$
Spostare la costante -3 al di fuori dell'integrale
$$ -3 \int t \: dt $$
Calcolare l'integrale elementare e sostituirlo con la funzione primitiva F(x)=1/2·t2 + c
$$ -3 \cdot \frac{1}{2} t^2 +c $$
$$ - \frac{3}{2} t^2 +c $$
Sostituire la variabile t con x.
La soluzione dell'integrale è la seguente:
$$ - \frac{3}{2} ( \sqrt[3]{1-x} )^2 +c $$
L'integrale è stato risolto.
Secondo metodo
$$ \int \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } \: dx $$
Sostituire una parte dell'integrale con la variabile t.
$$ t = \sqrt[3]{1-x} $$
Calcolare il differenziale dt
$$ dt = D[\sqrt[3]{1-x}] \:dx $$
$$ dt = \frac{-1}{3 ( \sqrt[3]{1-x} )^2 } \:dx $$
Cercare un modo per sostituire dt con una parte dell'integrale
$$ dt = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } \:dx $$
$$ (-3) \: dt =\frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } \cdot \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } $$
$$ (-3) \cdot \sqrt[3]{1-x} \: dt =\frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } $$
Sostituire dt nell'integrale
$$ \int \frac{1}{ \sqrt[3]{1-x} } \: dx $$
Sostituire t alla radice cubica 3√1-x
$$ \int(-3) \cdot \sqrt[3]{1-x} \: dt $$
$$ \int(-3) \cdot t \: dt \: $$
Spostare la costante -3 fuori l'integrale
$$ -3 \int t \: dt $$
Calcolare la primitiva dell'integrale elementare
$$ -3 \cdot \frac{1}{2} t^2 +c $$
Sostituire la variabile t con 3√1-x.
$$ -3 \cdot \frac{1}{2} ( \sqrt[3]{1-x} )^2 +c $$
L'integrale è stato risolto.
